การดำเนินการเบื้องต้น

วีดีโอชุดแรกเป็นการให้บทนิยามของการดำเนินการเบื้องต้นแบบแถวของเมตริกซ์ นักศึกษาจะต้องใช้การดำเนินการเหล่านี้ให้เป็นทุกแบบ และเราจะนำการดำเนินการเบื้องต้นแบบแถวนี้ไปหาตัวผกผันของเมตริกซ์ การแก้ระบบสมการ และการเปลี่ยนมูลฐานของปริภูมิเวกเตอร์ ซึ่งจะกล่าวถึงในภายหลัง

ตัวอย่างของการดำเนินการเบื้องต้น

Read more »

เฉลยแบบฝึกหัดการประยุกต์การดำเนินการของเมตริกซ์

สวัสดีนักศึกษาทุกคนครับ อาจารย์ได้บันทึกวีดีโอแนวคิดในการทำแบบฝึกหัดตามที่เห็นอยู่ด้านล่างนี้ และมีเรื่องประชาสัมพันธ์ ดังนี้

1. สำหรับนักศึกษาที่ไม่ถนัดการคำนวณที่เป็นสัญลักษณ์ ให้ทำการกำหนดเมตริกซ์ R และเมตริกซ์ C เป็นตัวเลขได้เลยครับ (ภายใต้สมติฐานว่าแต่ละกลุ่มน่าจะกำหนดต่างกัน)

2.  ให้แก้ไขโจทย์ข้อที่ 2 เป็นตามภาพที่เห็นด้านล่างนี้
3. หากนักศึกษามีข้อสงสัยสามารถตั้งกระทู้ถามได้ที่กล่องความคิดเห็นด้านล่างนี้ได้เลยครับ (คนที่ถามจะมีคะแนนพิเศษให้ครับ)

Read more »

9 เคล็ดลับเก่งคณิตศาสตร์

             ถ้าถามอาจารย์ว่าคนที่เก่งคณิตศาสตร์นั้น เก่งโดยพรสวรรค์หรือพรแสวง อาจารย์ก็ขอตอบว่าจำเป็นทั้งสองอย่าง แม้จะมีพรสวรรค์ระดับอัจริยะก็ต้องใช้เวลาในการคิดค้นสิ่งใหม่ๆอยู่ดี คงไม่ได้คิดทฤษฎีสัมพันธภาพได้ขณะเตะฟุตบอลแน่ๆ ครับ

           จากประสบการณ์ การเรียนคณิตศาสตร์ 10 กว่าปี และ สอนคณิตศาสตร์ 10 ปีพอดี อาจารย์ก็มีข้อแนะนำในการเรียนคณิตศาสตร์ให้กับนักศึกษาทุกคน ลองนำไปลองปรับใช้ดูครับ ถ้าทำได้ทั้ง 9 ข้อก็น่าจะเข้าใจคณิตศาสตร์ได้มากขึ้นครับ

เคล็ดลับเก่งคณิตศาสตร์

1. ยอมรับข้อตกลงและนิยาม

        การเริ่มต้นเรียนคณิตศาสตร์ จะมีการตกลงสัญลักษณ์ และกติกาต่างๆ ที่เราต้องเปิดใจยอมรับให้ได้

เช่น ในสมัยประถมมีการให้นิยามการคูณว่าเป็นการบวกซ้ำๆ ตัวอย่าง 2 x 3 นั้นหมายถึง ให้นำ 2 มาบวกกัน 3 ตัว ( 2+2+2 )

ถ้ายอมรับข้อตกลงเหล่านี้ไม่ได้ก็จะไม่สามารถเรียนต่อไป

2. เข้าใจบทนิยาม และสัญลักษณ์ต่างๆ

        การเข้าใจบทนิยามในที่นี้ไม่ได้หมายถึง ท่องจำได้ แต่จะต้องเข้าใจข้อตกลงเหล่านั้นด้วย

เช่น สัญลักษณ์  (5)(2) + (4)(3)  หมายถึง การนำจำนวน 5 คูณกับ 2 แล้วนำมาบวกกับ ผลคูณระหว่าง 4 และ 3

ซึ่งถ้าหากไม่เข้าใจสัญลักษณ์ก็อาจทำให้คำนวณผิดพลาด

3. เข้าใจทฤษฎีบท  สูตร หรือสมบัติต่างๆ  และพลิกแพลงใช้ให้เป็น

ทฤษฎีบท  สูตร หรือสมบัติต่างๆ นั้นคือสิ่งเดียวกัน ซึ่งหมายถึงข้อเท็จจริงที่ต้องมีการพิสูจน์และยอมรับว่าเป็นจริง จึงจะนำมาใช้ได้ ซึ่งต่างจากบทนิยามเพราะบทนิยามเป็นสิ่งที่กำหนดขึ้นมาให้ยอมรับร่วมกันโดยไม่ต้องพิสูจน์

         หลายคนเรียนคณิตศาสตร์ไม่เข้าใจเพราะเป็นกังวลกับการท่องจำสูตร ซึ่งแท้จริงแล้วการจำสูตรหรือทฤษฎีได้หรือไม่นั้นเป็นเรื่องรอง แต่เรื่องหลักที่ต้องให้ความสำคัญก่อนจะเริ่มจำสูตรคือ จะต้องเข้าใจว่า ทฤษฎีบทนี้ใช้เมื่อใด?  และใช้อย่างไร?

4. ท่องจำบ้างแต่จำเท่าที่จำเป็น มีเทคนิคและเป็นระบบ

       เรียนอะไรบ้างที่ไม่ต้องจำ? เรียนศิลป ดนตรี กีฬา ภาษา ฯลฯ ล้วนแต่ต้องจำทั้งสิ้น แต่วิชาคณิตศาสตร์เป็นวิชาที่คิดมากกว่า จำ ดังนั้นก่อนจะเริ่มจำ ให้ทำความเข้าใจก่อน และคิดหาวิธีจำที่ง่ายที่สุดสำหรับตนเอง โดยอาจจะใช้วิธีเชื่อมโยงกับสิ่งที่ตนเองคุ้นเคย

5. ฝึกทักษะ สร้างประสบการณ์ เผชิญปัญหาบ่อยๆ (อย่าวิ่งหนีปัญหา ถ้าไม่มีปัญหาในชีวิตจริงๆ ก็ใช้โจทย์ในหนังสือคิดไปพลางๆ)

        ทักษะนี้ใช้ได้กับชีวิตจริงและชีวิตการเรียนทุกแขนงวิชาครับ สำหรับในการเรียนคณิตศาสตร์ถ้าหมั่นฝึกฝนบ่อยๆ จะเป็นวิธีช่วยให้จำน้อยลง เพราะในขณะที่ฝึกฝน ก็จะต้องประมวลความรู้ที่มีออกมาแก้ปัญหาบ่อยๆ จึงทำให้สิ่งที่เราจะต้องจำถูกประมวลและเก็บรวบรวมเป็นความจำโดยปริยายแบบที่ไม่ต้องท่องจำ

          นอกจากนี้การได้เพิ่มประสบการณ์จากการฝึกฝนมากๆ จะทำให้มุมมองในการแก้ปัญหาต่างไปจากเดิม สามารถที่จะเลือกใช้วิธีที่ง่ายและเร็วที่สุดในการแก้ปัญหาได้ ต่างจากคนที่ไม่เคยฝึกฝน เมื่อพบปัญหามักจะเรียบเรียงความคิดไม่เป็น หรืออาจจะมองปัญหาไม่ออกเลยเป็นต้น

6. คิด และสร้างมุมมองต่อเรื่องต่างๆ ให้ลึกซึ้งกว่าคนอื่นๆ ทั่วไป

         ที่กล่าวมาข้างต้นอย่าเพิ่งเข้าใจว่าคนเก่งคณิตศาสตร์ต้องทำโจทย์เป็น 1000 ข้อนะครับ เพราะแท้จริงแล้วคนเก่งคณิตศาสตร์อาจจะทำโจทย์เพียงไม่กี่ข้อก็ได้ แต่จะต้องคิดมากกว่าคนอื่นๆ สังเกต และมีมุมมองต่อปัญหาต่าง ๆ ลึกซึ้งกว่าคนอื่นๆ แล้วจึงเริ่มลงมือแก้ปัญหา

7. ฝึกความคิดสร้างสรรค์

          ปัญหา 1 ปัญหามีวิธีแก้หลายวิธี และนักแก้ปัญหาที่ดีจะต้องมีความคิดที่ยืดหยุ่น ถ้าเราสามารถยืดหยุ่นความคิดตนเองให้ใช้ความรู้ที่ไม่ได้อยู่ในห้องเรียนอยู่มาแก้ปัญหาได้เหมือนกับความรู้ในห้องเรียนก็ถือว่าประสบความสำเร็จ เพราะปัญหาโดยทั่วไปในชีวิตจริงๆ ไม่มีสูตรสำเร็จ และไม่มีใครมาบอกเราว่าต้องใช้สูตรใด หรือความรู้เรื่องใดมาแก้ปัญหา การฝึกความคิดสร้างสรรค์จึงจำเป็นและอาจจะช่วยให้เราสามารถปรับเปลี่ยนความเชี่ยวชาญของเรามาแก้ปัญหาที่พบได้

8. ฝึกสมาธิ

         ในสมัยเรียนระดับปริญญาตรีอาจารย์ฝึกสมาธิตนเองบ่อยๆ โดยนั่งทบทวนตนเองหลังทานอาหารกลางวันประมาณ 5 นาที  นั่งสงบทำสมาธิก่อนเรียน อย่างน้อย 2 นาที หรือก่อนอ่านหนังสือ 10 นาทีเป็นต้น พบว่าการรับรู้และการเรียนรู้ทำได้รวดเร็วกว่าคนอื่นๆ สามารถทำความเข้าใจเรื่องที่เรียนได้จากครั้งแรกที่ฟัง ดังนั้นอาจารย์จึงอยากให้นักศึกษาลองนำเทคนิคนี้ไปใช้กันดู ซึ่งแท้จริงแล้ววิธีนี้ค้นพบโดยพระพุทธเจ้ามา 2000 กว่าปีแล้ว

9. เข้าเรียนตรงเวลา

       ธรรมชาติของเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์จะมีความต่อเนื่องกันเป็นลูกโซ่ เช่น ถ้าบวกเลขช้า ก็จะทำให้ ลบเลขช้า และทำให้คูณได้ช้า และทำให้ หารได้ช้า และส่งผลต่อการเรียนเรื่องอื่นๆที่ตามมา  การเรียนคณิตศาสตร์ในชั้นเรียนเป็นการเรียนเรียงความรู้คณิตศาสตร์ที่นักคณิตศาสตร์ใช้เวลาเป็น ร้อยๆ ปีในการคิดค้น ดังนั้นการเข้าเรียนจึงทำให้เราไม่ต้องใช้เวลาเป็นหลายร้อยปีเพื่อไปเรียนรู้ด้วยตนเอง

       นอกเหนือจากนักศึกษาควรจะมาเรียนแล้ว นักศึกษาควรจะเข้าเรียนให้ตรงเวลาด้วย เพราะในการเรียนการสอนคณิตสาสตร์จะมีการกำหนดข้อตกลง และความคิดรวบยอดใน 10 นาทีแรก ดังนั้นถ้านักศึกษาเข้าเรียนช้ากว่า 10 นาที ก็จะไม่สามารถเข้าใจการเรียนเรื่องนั้นๆ อย่างถ่องแท้ 

       สุดท้ายอาจารย์หวังอย่างยิ่งว่าแนวทางที่ได้แนะนำนี้จะเป็นแนวทางที่ช่วยให้เรียนคณิตศาสตร์ได้เข้าใจมากขึ้นครับ หากนักศึกษาต้องการข้อแนะนำเพิ่มเติมสามารถตั้งกระทู้สอบถามได้เลยครับ

Read more »

เรียนคณิตศาสตร์ไปทำไม ?

 

เรียนคณิตศาสตร์ไปทำไม?

         นักศึกษาหลายคนคงเกิดคำถามนี้ขึ้นในใจทุกครั้งที่ต้องเรียนวิชาคณิตศาสตร์แน่นอน และหลายคนคงมีทัศนะคติกับวิชาคณิตศาสตร์ต่างกันออกไป เช่น เรียนเพราะเป็นวิชาบังคับ! ไม่เห็นได้ใช้ในชีวิตประจำวันเลย! ยากจัง ไม่เข้าใจ ไม่รู้เรื่อง น่าเบื่อ เซ็งเป็ด เซ็งหมู เซ็งไก่ ฯลฯ

         คำถามนี้มีมาเป็นพันปีมาแล้ว ในสมัยนั้นยุคลิด (Euclid : ก่อน ค.ศ. 450-380) บิดาแห่งเรขาคณิต ก็ถูกตั้งคำถามนี้จากลูกศิษย์เช่นกัน และยุคลิด ได้ตอบว่า

 

“เจ้าจงเอาเงินนี่ไป เพราะเจ้าจะต้องได้สิ่งตอบแทน เมื่อเจ้าเรียนจบ”

        คำตอบนี้มีนัยมากกว่าข้อความที่เห็นแน่นอน นักศึกษาคิดว่าคำตอบนี้หมายความว่าอย่างไรครับ?

          วันนี้อาจารย์ก็มีมุมมองอีกมุมหนึ่งเกี่ยวกับวิชาคณิตศาสตร์อยากเล่าให้ฟัง เพื่อให้นักศึกษาพอเข้าใจว่าสาเหตุที่เราต้องเรียนคณิตศาสตร์อยู่บ่อยๆ เนี่ยจะเรียนไปทำไม?

        ก่อนอื่นขอตั้งคำถามนักศึกษาก่อนว่า ตั้งแต่เรียนประถม มัธยม จนถึงระดับอุดมศึกษา มีวิชาใดในห้องเรียนที่สามารถฝึกให้เราคิดอย่างมีเหตุมีผล คิดเป็นระบบ ฝึกให้มีการวางแผนการแก้ปัญหาอย่างเป็นขั้นตอน ฝึกทักษะการแก้ปัญหา ?  คำตอบ…………………………………………………………………………………………………………………..

        คำถามข้างต้นให้นักศึกษาเป็นคนตอบเองน่าจะดีที่สุด และคิดว่านักศึกษาคงรู้คำตอบอยู่ในใจแล้ว ซึ่งถ้าใครได้คำตอบว่าวิชาคณิตศาสตร์ แสดงว่านักศึกษา น่าจะได้คำตอบแล้วว่าเราเรียนคณิตศาสตร์ไปทำไม

        โดยภาพรวมแล้วคณิตศาสตร์เป็นเครื่องในการแก้ปัญหา ดังนั้นเมื่อใดก็ตามที่เราต้องการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนก็มักจะมีคณิตศาสตร์ไปเกี่ยวข้องทั้งหมด

        แต่หลายคนก็ยังสงสัยอยู่ดีว่า… แล้วเรียนในระดับอุดมศึกษามันเอาไปใช้ตอนไหนล่ะ? อาจารย์ก็จะขอไล่เรียงคำตอบเหตุผลตั้งแต่ระดับประถมจนถึงระดับอุมศึกษาดังนี้

        เรียนคณิตศาสตร์ระดับประถม : ในระดับประถมเรียนคณิตศาสตร์เพื่อให้มีทักษะการคิดคำนวณพื้นฐาน ใช้ชีวิตร่วมกับผู้อื่นในสังคมได้

      แต่ก็ไม่ได้หมายความว่าคณิตศาสตร์เป็นแค่เรื่องซื้อของทอนเงิน คณิตศาสตร์ไม่ใช่การเรียนตัวเลข ตัวเลขเป็นแค่บันไดให้เด็กได้เรียนรู้อย่างอื่น รู้จักจินตนาการ รู้จักคิด รู้เหตุรู้ผล เข้าใจเงื่อนไข ฯลฯ
      เช่น ข้อความว่า "พาราเซตามอลเป็นยาแก้ปวดที่ปลอดภัยที่สุด" ถ้าเด็กที่ผ่านการเรียนรู้ทางคณิตศาสตร์ จะคิดไม่เหมือนคนทั่วไป เด็กจะคิดคิดได้แบบนี้ครับ

1. "พาราเซตามอลเป็นยาแก้ปวดที่ปลอดภัยที่สุด" ก็แปลว่า ยาแก้ปวดมีหลายชนิด ไม่ได้มีพาราเซตามอลอย่างเดียว

2. "พาราเซตามอลเป็นยาแก้ปวดที่ปลอดภัยที่สุด" แปลว่า ปลอดภัยกว่ายาแก้ปวดชนิดอื่น แต่ก็ไม่ได้หมายความว่าไม่มีอันตราย เพราะไม่ได้บอกว่าปลอดภัย 100 %

3. ยาแก้ปวดชนิดอื่นอาจปลอดภัยน้อยกว่าพาราเซตามอล เช่นแอสไพลิน ปลอดภัย 80 % (พาราเซตามอลปลอดภัย 10 % ... เป็นตัวเลขสมมุติทั้งสิ้น) แต่ราคาต่างกัน พาราเซตามอลเม็ดละหนึ่งบาท แต่แอสไพรินกำ(มือ)ละหนึ่งบาท เด็กย่อมเข้าใจเรื่องความคุ้มค่าในการเลือกได้

         เรียนคณิตศาสตร์ระดับมัธยม : การเรียนคณิตศาสตร์ระดับมัธยมแยกจุดมุ่งหมายเป็น  2 ประเด็นหลักๆ คือ

      1.  ต้องการให้คนเรียนมีเหตุผล มีทักษะการแก้ปัญหา สามารถสื่อสารเรื่องต่างๆ ในเชิงตัวเลขได้ ดังนั้นถ้านักศึกษาเป็นคนมีเหตุผล มีการคิดที่เป็นระบบ มีการสื่อสารกับผู้อื่นได้ดี ทักษะเหล่านี้ก็ได้มาจากการเรียนคณิตศาสตร์ระดับมัธยมนั่นเอง ซึ่งก็เป็นคำตอบว่าเรียนคณิตศาสตร์ในระดับมัธยมไปทำไม

     2. เป็นการเตรียมตัวเรียนระดับอุดมศึกษา นักเรียนมัธยมส่วนใหญ่(ส่วนมากเสียด้วย) ยังคงสงสัยอยู่ว่าเรื่องที่เรียนในระดับมัธยม บางเรื่องก็ยากเหลือเกิน จะได้เอาไปใช้ตอนไหน  อาจารย์ขอตอบว่า ความรู้ที่เราเรียนในมัธยมทั้งหมดเป็นเพียงหัวเรื่องย่อยๆ ที่จะนำมาผนวก(รวม)เข้าด้วยกันในการเรียนระดับอุดมศึกษา เช่นเรื่องตรีโกณมิติ ก็จะใช้ในเรียนสาขาวิทยาศาสตร์ เพราะเป็นฟังก์ชันที่ใช้อธิบายคลื่น หรือใช้ในการเรียนสาขาวิศวกรรมศาสตร์ ในการคำนวณสิ่งก่อสร้าง  คำนวณการเคลื่อนที่  เรียนเรื่องตรรกศาสตร์  เพื่อใช้ในการเรียนสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์ และนิติศาสตร์เป็นต้นเป็นต้น  

        ที่กล่าวมานี้ก็คงพอชี้ให้เห็นได้ว่าเราเรียนคณิตศาสตร์ในสมัยมัธยมไปทำไม ซึ่งปัจจุบันนักเรียนส่วนใหญ่ก็เข้าใจผิดว่าการเรียนคณิตศาสตร์นั้นต้องเรียนเพราะเป็นวิชาบังคับ ต้องเรียนเพราะอยากสอบเข้ามหาวิทยาลัยได้ ซึ่งหลายคนที่สอบเข้ามหาวิทยาลัยได้คะแนนคณิตศาสตร์สูง กลับสอบตกวิชาคณิตศาสตร์ในระดับอุดมศึกษา เพราะไม่เข้าใจจุดมุ่งหมายข้อแรกของการเรียนมัธยม และรู้เพียงแค่สูตรลัดหาคำตอบที่สอนกันในโรงเรียนกวดวิชา ซึ่งสามารถใช้ได้แค่เพียงบางปัญหาเท่านั้น แต่ในชีวิตจริงๆ เรามักไม่เจอปัญหาที่ใช้สูตรสำเร็จได้ ความเข้าใจในแก่นแท้ของวิชาจึงสำคัญกว่าเทคนิคในการหาคำตอบ

         แล้วเรียนคณิตศาสตร์ระดับอุดมศึกษาล่ะ : การเรียนระดับมัธยมศึกษาเป็นการเรียนที่มีความเฉพาะเจาะจง มีเป้าหมายในการเรียนชัดเจนมาก สามารถระบุได้ว่าเรียนจบแล้ว เชี่ยวชาญเรื่องใด และจะไปประกอบอาชีพใด ดังนั้นการเรียนคณิตศาสตร์ในระดับนี้ขึ้นกับว่านักศึกษาเรียนสาขาใด เช่นถ้าหากเรียนวิทยาศาสตร์ก็จะต้องเรียนคณิตศาสตร์ เพราะการแก้ปัญหาทางวิทยาศาสตร์จำเป็นต้องใช้คณิตศาสตร์ทุกสาขาวิชา

        และสำหรับวิทยาการคอมพิวเตอร์ ก็จะต้องใช้ความรู้คณิตศาสตร์อย่างเลี่ยงไม่ได้ เช่น

ถ้านักศึกษาอยากเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์เก่ง ก็จะต้องมีทักษะการคิดแบบตรรกศาสตร์ที่ดี

นักศึกษาจะเรียนดิจิตอลได้ดี นักศึกษาจะต้องเข้าใจพีชคณิตบูลีน

เมื่อเขียนโปรแกรมเสร็จสิ้นแล้วจะทราบได้อย่างไรว่าโปรแกรมที่เขียนดีหรือไม่ ก็จะต้องใช้ฟังก์ชันหรือสมการคณิตศาสตร์ไปทดสอบ

นักศึกษาจะเขียนเกมคอมพิวเตอร์ได้เหมือนจริงก็จะต้องมีความรู้แคลคูลัส ว่าเมื่อมีการกระแทกด้วยแรงขนาดนี้วัตถุน่าจะกระเด็นไปไกลแค่ไหน ทำมุมเท่าไร เกมที่สร้างจึงจะเหมือนจริง

งานคอมพิวเตอร์กราฟิกก็ยังคงอาศัยความรู้เรขาคณิตในการคำนวณระยะ มุม ต่างๆ

การแปลงไฟล์วีดีโอในคอมพิวเตอร์ก็อาศัยความรู้เรื่องอนุกรมฟูริเยร์ เพื่อเปลี่ยนจากฟังก์ชันต่อเนื่องไปเป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง โดยใช้หลักการที่ว่าทำให้ขนาดไฟล์เล็กลงและข้อมูลที่หายไปอยู่ในระดับที่ยอมรับได้

การศึกษาโครงสร้างข้อมูล วิเคราะห์และออกแบบอัลกอริทึม และ อัลกอริทึมเชิงการจัด ก็จะต้องรู้คณิตศาสตร์เชิงการจัด(ศาสตร์แห่งการนับ) ทั้งสิ้น

        ที่กล่าวมานี้ก็เป็นเพียงภาพรวมให้นักศึกษาได้เห็นอีกมุมมองหนึ่งในการเรียนคณิตศาสตร์ และอาจารย์ขอทิ้งท้ายว่านักศึกษาเป็นนักวิทยาการคอมพิวเตอร์ที่ไม่เก่งคณิตศาสตร์นั้นไม่ใช่เรื่องเสียหาย แต่ถ้านักศึกษาเป็นนักวิทยาการคอมพิวเตอร์ที่เก่งคณิตศาสตร์ นักศึกษาก็จะเป็นนักวิทยาการคอมพิวเตอร์ที่มีความพิเศษและเหนือกว่าคนอื่นๆ ซึ่งประเทศไทยยังคงต้องการบุคลากรเช่นนี้อีกมากครับ ขอขอบคุณนักศึกษาที่ตั้งใจอ่านจนจบครับ หากมีความคิดเห็น ซึ่งจะเห็นด้วยหรือไม่เห็นด้วยให้แสดงออกได้เลยครับ (ไม่หักคะแนนแน่นอนครับ)   

Read more »